所有找不到地方放的东西都扔在这个里面了. 总而言之,konjacq 真的太蒻啦/kk.

另外, 里面出现的 $\lambda$ 没有特殊说明都是常数.

复数

啊这, 这之前在 [FFT]() 那篇当中提到过, 就直接把除了板子以外的部分粘过来了, 并且做了一点补充.

定义

$$ z=a+bi=(\sqrt{a^2+b^2},\mathrm{atan}\frac ba),\quad a,b\in\mathbb R $$

其中定义虚数单位 $i=\sqrt{-1}$,$a$ 称为 实部 ($\text{real}$),$b$ 称为 虚部 ($\text{imaginary}$, 也记作 $\text{imag}$), 后半段是极坐标表示法(模长和角度, 但是用不上). 注意那个 $a,b\in\mathbb R$, 只有这样 $a$ 和 $b$ 才能分别被称作实部和虚部. 譬如 $4+2i=(2i+6)+(2i)i$, 这里 $4$ 是实部而不是 $2i+6$ 是实部,$2$ 是虚部而不是 $2i$ 是虚部. 记 $\theta=\mathrm{atan}\frac ba$, 称为 幅角 . 如果将其看作向量 $(a,bi)$, 就可以在图上表示出来(实轴上方的那个向量)

共轭复数

对于复数 $z=a+bi=(r,\theta)$, 其共轭复数 $\bar z=a-bi=(a,-\theta)$, 如之前那张图上的两个复数互为共轭复数. 也即 模长相等, 幅角相反 .

基本运算

记 $z=a+bi=(a,\theta)$, 则有

$$ z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i\\ z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i=(a_1a_2,\theta_1+\theta_2) $$

复数加法满足平行四边形法则, 当然直接当成向量做也没什么关系.

原根

一个数 $n$ 的原根 $g$ 满足

• $\forall i\in[1,n-1]$, 都有 $g^i\bmod n$ 互不相同.
• $g^{n-1}\equiv1\pmod n$.

$n$ 有原根的充要条件是 $n\in\mathop{\{p^k,2p^k\}}_\limits{p\text{ is a prime},k\in\mathbb N^*}$.

Bayes 定理

$$ \mathrm P(B|A)=\mathrm P(B)\frac{\mathrm P(A|B)}{\mathrm P(A)} $$

其中, 称 $\mathrm P(A)$ 为 $A$ 的先验概率,$\mathrm P(A|B)$ 为 $A$ 的后验概率, 对 $\mathrm P(B)$ 和 $\mathrm P(B|A)$ 亦有类似称呼. 额外地, 还称 $\mathrm P(B)$ 为标准化常量.

证明

$$ \begin{cases} \mathrm P(A|B)=\frac{\mathrm P(AB)}{\mathrm P(B)}\\ \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(AB)}{\mathrm P(A)} \end{cases}\Rightarrow\mathrm P(B)\mathrm P(A|B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B|A) $$

移项即得.

形式幂级数

形如

$$ F(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i $$

的数被称作形式幂级数. 一般用在生成函数和表示多项式上.

基本运算

加法 ($\alpha$ 和 $\beta$ 是常数) 和左右移($m$ 位), 显然:

$$ \alpha F(x)+\beta G(x)=\sum_{i=0}^\infty(\alpha f_i+\beta g_i)x^i\\ x^mF(x)=\sum_{i=m}^\infty f_{i-m}x^m\\ \frac{F(x)-\sum_{i=0}^{m-1}f_ix^i}{x^m}=\sum_{i=0}^\infty f_{i+m}x^m $$

求导, 积分(淦什么是积分啊), 这两个窝也不知道为什么, 反正教练是这么讲的:

$$ F'(x)=\sum_{i=0}^\infty(i+1)f_{i+1}x^i\\ \int_0^xF(t)\mathrm dt=\sum_{i=1}^\infty\frac{f_{i-1}x^i}i $$

乘法, 是卷积形式(因为 $x^n$ 是从 $F(x)$ 中取 $x^i$, 从 $G(x)$ 中取 $x^{n-i}$):

$$ F(x)G(x)=\sum_{i=0}^\infty(\sum_{j=0}^if_jg_{i-j})x^i $$

用形式幂级数表示多项式

不妨定义一个有 $n+1$ 项的多项式 $F(x)=f_0x^0+f_1x^1+\dots+f_nx^n=\sum_{i=0}^n f_ix^i$. 发现这个式子和形式幂级数很像, 如果 $\forall i>n,f_i=0$, 然后把 $F(x)$ 取到 $\infty$ 项, 那就是形式幂级数了, 所以可以用形式幂级数之类的东西来搞多项式.

当然对于 $F(x)$ 或者 $f(x)$ 这样的大小写问题窝也还没听到什么统一的说法, 不过窝个人的习惯是用 $F(x)$ 来代表一个多项式,$f(x_0)$ 代表当 $x=x_0$ 时的取值.

形式幂级数与生成函数的关系

这个太多了, 扔个链接吧. 生成函数 (暂时咕了).

求导

定义

$f'(x_0)$ 表示函数图像 $y=f(x)$ 在 $(x_0,f(x_0))$ 附近的斜率 .

公式

$$ \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=f'(x) $$

可以看出 可导的函数一定连续 (不连续的函数一定不可导).

基本运算

$$ (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)\\ (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\ (\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\\ (\lambda f(x))'=\lambda f'(x) $$

由第一条和第四条得知求导满足线性性.

求导法则

反函数满足如果 $x=g(y)$ 严格单调且可导, 则

$$ y=f(x)\Rightarrow f'(x)=\frac 1{g'(y)} $$

复合函数满足

$$ (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x) $$

以及有以下式子

$$ \lambda'=0\\ (f^n(x))'=n(f^{n-1}(x))' $$

牛顿迭代

对于一个 平滑连续处处可导 (至少在要用到的区间要满足) 的函数有

$$ x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\\ f(x)=0 $$

选取一个 $x_0$, 反复将得到的 $x$ 作为新的 $x_0$ 代入,理论上 经过无限次迭代后最后会得到 $x$ 使 $f(x)=0$. 当然会有奇奇怪怪的情况出现, 不过窝这里就不想讨论了.

泰勒展开

因为某些函数 (比如 $\sin$) 研究起来很麻烦, 所以可以用多项式拟合. 泰勒展开就是用来求用于拟合的多项式的.

定义

若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有 $n$ 阶导数, 在 $(a,b)$ 上具有 $n+1$ 阶导数, 则对于 $\forall x\in[a,b]$ 有

$$ f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\dots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) $$

其中 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数. 发现当 $n$ 能取到 $\infty$ 的时候有

$$ f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(x)}{i!}(x-x_0)^i $$

常见泰勒展开

$$ \begin{align} e^{ax}&=\sum_{i=0}^{\infty}a^i\frac{x^i}{i!}\\ \ln(x+1)&=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{x^{i+1}}{i+1}\\ (x+1)^a&=\sum_{i=0}^{\infty}a^\underline i\frac{x^i}{i!}\\ \sin x&=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}\\ \cos x&=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{x^{2i}}{(2i)!} \end{align} $$

定积分

这个同样是在 数学期望 那篇里面作为前置知识讲过, 所以这里还是就搬过来然后补充一下.

定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 将 $[a,b]$ 划分成 $n$ 个子区间 $[x_0,x_1],(x_1,x_2],\dots,(x_{n-1},x_n]$, 则区间长依次为 $\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_n$, 其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$. 取 $\xi_i\in(x_{i-1},x_i)$, 求

$$ \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i $$

若 $\max\{\Delta x_1,\Delta x_2,\dots,\Delta x_n\}\to0$ 时该式的极限存在, 则称该极限为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分, 记作

$$ \int_a^bf(x)\mathrm dx $$

之所以是叫定积分, 是因为积出来的结果是一个常数 (即刚才那个式子的极限). 其中 $\mathrm d$ 代表 $\Delta$, 与此同时, 称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积.

基本运算

$$ \int_a^af(x)\mathrm dx=0 $$

很好理解, 如果积一段长度为 $0$ 的区间那就什么也积不到.

$$ \int_a^bf(x)\mathrm dx=-\int_b^af(x)\mathrm dx $$

反过来积那么积出来的结果添 $-$.

$$ \int_a^b\lambda f(x)\mathrm dx=\lambda\int_a^bf(x)\mathrm dx $$

即常数可以提到积分符号外.

$$ \int_a^b(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int_a^bf(x)\mathrm dx+\int_a^bg(x)\mathrm dx $$

即对两个函数的和积分, 等于对两个函数分别积分再求和.

$$ \int_a^bf(x)\mathrm dx=\int_a^cf(x)\mathrm dx+\int_c^bf(x)\mathrm dx $$

积分一个区间等于积分两个加起来等于它的区间, 注意由于第二条所以不要求 $a\le c\le b$.

$$ \forall x_0\in[a,b],f(x_0)\ge0\Rightarrow\int_a^bf(x)\mathrm dx\ge0 $$

如果这一段的 $f(x)$ 都不小于 $0$, 那么加起来也不小于 $0$.

如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续, 则存在 $c\in[a,b]$ 满足

$$ \int_a^bf(x)\mathrm dx=f(c)(b-a) $$

定积分的线性性实际上是因为求和的线性性.

不定积分

看来还是躲不掉... 多项式 $\ln$ 要用到这个.

原函数

定义 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数, 满足

$$ F(x)=\int f(x)\mathrm dx $$

显然这里 $F(x)$ 不能是一个常数而是一个式子. 因为积不出来常数所以叫不定积分.

定义

不定积分是 求导的逆运算. 即

$$ F'(x)=f(x) $$

积分常数

对于给定的 $f(x)$, 可能存在复数个 $F(x)$, 且它们只相差一个常数 $\lambda$. 因为常数求导为 $0$, 所以显然

$$ (F(x)+\lambda)'=F'(x)+\lambda'=F'(x)=f(x) $$

因为不定积分实际上是对 $F(x)$ 求导, 而在 $y$ 方向上移动 $y=F(x)$ 显然不会影响斜率.

基本运算

$$ \int\lambda f(x)\mathrm dx=\lambda\int f(x)\mathrm dx $$

即常数和定积分一样还是可以提到积分符号外.

$$ \int(f(x)+g(x))\mathrm dx=\int f(x)\mathrm dx+\int g(x)\mathrm dx $$

即对两个函数的和积分, 等于对两个函数分别积分再求和.

发现和定积分很像. 定积分的线性性是因为求和的线性性, 而不定积分的线性性是因为求导的线性性.

牛顿 - 莱布尼茨公式

联系了定积分与不定积分.

定义

如果函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积且有原函数 $F(x)$, 则

$$ \int_a^bf(x)\mathrm dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a) $$

证明好像比较复杂... 而且也不一定有用. 咕了.

自然对数 $\ln$

$$ \ln x=\log_ex $$

即自然对数是以 $e$ 为底的对数.

自然常数 $e$

定义

$$ \lim_{n\to+\infty}(1+\frac1n)^n=e\approx2.7182818284 $$

或

$$ \sum_{i=1}^{+\infty}\frac1{i!}=e,\quad\int_1^e=\frac{\mathrm dt}t $$

求导

$$ \ln'x=\frac1x\\ \exp'(x)=\exp(x)=x^e $$

欧拉公式

$$ e^{i\pi}+1=0 $$